Спектральная плотность

Рядом Фурье можно представить не только периодический сигнал, но и любой сигнал конечной длительности. Пусть такой сигнал ( 2.2) отличен от 0 только на интервале .
2.2. Непериодический сигнал. Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток , и устремив , можно представить в виде ряда Фурье (2.8). Подставив (2.9) в (2.8) получим (2.13). При окончательной записи этого выражения учтено, что:

Так как при Т→ ∞ величина стремится к 0, то расстояние между спектральными составляющими становится бесконечно малым, т.е. спектр становится сплошным. Поэтому в выражении (2.13) можно заменить на , – на текущую частоту , а операцию суммирования – на операцию интегрирования. Выполнив указанные замены приходим к двойному интегралу Фурье:

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

называется спектральной плотностью функции .
В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:

После подстановки (2.15) в (2.14) получаем:

Выражения (2.16) и (2.17) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.
Поскольку – комплексная величина, то ее можно представить в виде:
.
Модуль и фаза спектральной характеристики соответственно равны:

Итак, структура спектра непериодического сигнала полностью определяется спектром амплитуд – и спектром фаз – .

Также по теме: