Связь между преобразованием сигнала и соответствующим изменением спектра

Рассмотрим три наиболее часто встречающихся преобразования сигнала.

Деформация спектра при сдвиге сигнала во времени

Пусть сигнал произвольной формы существует на интервале времени и обладает спектральной плотностью . При задержке этого сигнала на величину ( 2.3) получим новую функцию времени , существующую на интервале от до .

2.3. Сдвиг сигнала во времени. В соответствии с (2.15)имеем:
.
Введем новую переменную . Тогда , и
(2.21)
Из выражения (2.21) видно, что сдвиг сигнала во времени на величину приводит к изменению фазового спектра на величину .

Амплитудный спектр сигнала не зависит от его положения на оси времени.
Из полученного результата можно сделать и обратный вывод: если требуется задержать сигнал на величину без изменения его формы, нужно пропустить его через устройство с фазовой характеристикой .
Деформация спектра при изменении масштаба времени

Пусть сигнал , заданный на интервале 0 – Т и имеющий спектральную плотность , подвергается сжатию во времени в n раз ( 2.4). Требуется определить спектральную плотность . Имеем: .

2.4. Сжатие сигнала в n раз. Спектральная плотность сжатого сигнала


(вне интервала ). Введем новую переменную . Тогда , .
.
Интеграл в последнем выражении есть спектральная плотность исходного сигнала на частоте ω/n. Следовательно:

Из выражения (2.22) видно, что то, что имели у на частоте ω/n, в сигнале будет на частоте ω. Это значит, что при сжатии сигнала в n раз на временной оси, во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз.
При растягивании сигнала во времени, т.е. при n < 1, имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
Наглядной демонстрацией этого явления может служить двухскоростной магнитофон. Предположим, что запись сделана на скорости 9,5 см/сек, а воспроизведение осуществляется на скорости 19 см/сек. Сигнал при этом сжимается во времени в 2 раза, а спектр расширяется (появляются высокие частоты, которых не было в исходном сигнале). И наоборот.

Cпектр суммы сигналов
Пусть . Спектральные плотности слагаемых сигналов известны и равны Требуется найти суммарного сигнала .
Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным преобразованием, то спектр сигнала будет равен:

Также по теме: